F(x)=x+a/x x属于(1 +无穷)讨论其单调性,并选择其的某个单调性(递增或递减)加以证明(14分)

函数f(x)的表达式中,x属于变量，a属于参数，因此讨论的应是参数a。
因为a在不同范围内取值，函数
f(x)=x+a/x (a>0且x∈[1,+∞)) 的单调性质也可能不同。
函数在x=√a (这是根号a) 时取极小值
在区间(0,√a)，函数f(x)单调递减------------(*)
在区间(√a,+∞)，函数f(x)单调递增----------(**)
讨论：
(1)当0<a≤1时,√a≤1
根据(**)式，函数f(x)=x+a/x在定义域[1,+∞)上单调递增；
(2)当a>1时,√a>1
此时，把函数f(x)=x+a/x的定义域划分为两个区间，[1,√a]和(√a,+∞)
根据(*)式，函数f(x)=x+a/x在区间[1,√a]上单调递减；
根据(**)式，函数f(x)=x+a/x在区间(√a,+∞)上单调递增。
讨论完毕！
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下面将根据函数单调性的定义来证明(*)式和(**)式
取0<x1<x2
则f(x1)=x1+a/x1,f(x2)=x2+a/x2,作差得
f(x1)-f(x2)
=x1-x2+a/x1-a/x2
=x1-x2+a(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)(-1)+(x2-x1)a/(x1x2)
=(x2-x1)[a/(x1x2)-1]---------------(#)
(1)当0<x1<x2<√a时
x1x2<√a×√a=a
所以a/(x1x2)>1,a/(x1x2)-1>0
因为x2>x1,x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)=(x2-x1)[a/(x1x2)-1]>0，f(x1)>f(x2)
即自变量越大（x2>x1）,函数值越少（f(x2)<f(x1)），f(x)为单调递减函数；
(2)当√a<x1<x2时
x1x2>