求∫(1+sinx)/(1+cosx)dx

首先分成2个积分来做

∫(1+sinx)/(1+cosx)dx =∫1/(1+cosx)dx + ∫sinx/(1+cosx)dx

对于后面的那个积分比较简单：

∫sinx/(1+cosx)dx
= -∫1/(1+cosx)d（cosx)
= -∫1/(1+cosx)d（cosx+1)
= -ln(1+cosx) --------------------------------（2）

对于 前面的那个积分 就要用三角函数的万能代换公式：
令 t = tan(x/2)
那么 cosx = (1 - t^2)/(1 + t^2), dx= [2/(1 + t^2)]dt

∫1/(1+cosx) dx
=∫1/[1 + (1 - t^2)/(1 + t^2) ] dx
=∫(1+t^2)/2 dx
=∫[(1+t^2)/2 ] * [2/(1 + t^2)]dt
= t
=tan(x/2)-----------------------------(1)

(1)加上（2） 便得：
∫(1+sinx)/(1+cosx)dx = tan(x/2) - ln(1+cosx) + C
C为常数。