求乘积的导数

[f(x+deltax)g(x+deltax)-f(x)g(x)]/deltax
=[f(x+deltax)g(x+deltax)-f(x+deltax)g(x)+f(x+deltax)g(x)-f(x)g(x)]/deltax
=f(x+deltax)[g(x+deltax)-g(x)]/deltax+g(x)[f(x+deltax)-f(x)]/deltax
=f(x+deltax)g'(x)+g(x)f'(x)
=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)

[f(x)g(x)]'
=lim [f(x+u)g(x+u)-f(x)g(x)]/u
加上f(x)g(x+u)/u并减去f(x)g(x+u)/u
=[f(x+u)g(x+u)-f(x)g(x)]/u+f(x)g(x+u)/u-f(x)g(x+u)/u
重新组合
=[(f(x+u)-f(x))g(x+u)/u+f(x)(g(x+u)-g(x))/u]
=[f(x+u)-g(x)]*[g(x+u)]/u+f(x)*[g(x+u)-g(x)]/u
=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

定理，设u=u(x),v=v(x)为两个可导函数，则uv也可导，且(uv)'=u'v+uv'
证明：(用导数定义证)设y=uv
令自变量x取得改变量△x(不为零),记u的改变量为△u,v的改变量为△v.y的改变量为△y.
则△y=（u+△u）(v+△v)-uv=v△u+u△v+△u△v
比值△y/△x=v△u/△x+u△v/△x+△u△v/△x
根据导数定义(uv)'=y'=lim(△y/△x) (这里计算当△x->0时的极限）
=lim(v△u/△x)+lim(u△v/△x)+lim(△u△v/△x)
注意u,v与△x无关，由运算法则得
=vlim(△u/△x)+ulim(△v/△x)+lim(△u)lim(△v/△x)
=vu'+uv'+v'lim(△u