双曲线求证的问题

直线L在x轴和y轴上的截距分别是a和b，
直线的方程为
x/a+y/b=1
x=a-ay/b
代入y^2=2px得
y^2=2p(a-ay/b)
y^2+2pay/b-2pa=0
y1+y2=-2pa/b
y1*y2=-2pa
1/y1 + 1/y2=(y1+y2)/y1y2
=1/b

OM的斜率=y1/x1
ON的斜率=y2/x2
y=b-bx/a 代入y^2=2px
b^2x^2/a^2-(2p+2b/a)x+b^2=0
x1x2=a^2
y1y2/x1x2=-2pa/a^2=-2p/a
当a=2p时
y1y2/x1x2=-1
所以OM垂直ON

简单做法：利用韦达定理
x/a+y/b=1
可以得x=a-ay/b, y=b-bx/a
代入y^2=2px中，消去x,y,可以得到两个方程：
y^2+2apy/b-2pa=0
b^2*x^2/(a^2)-(2p+2b^2/a)x+b^2=0
因此根据韦达定理
x1x2=b^2/(b^2/a^2)=a^2
y1y2=-2pa
y1+y2=-2ap/b
(1)1/y1+1/y2=(y1+y2)/y1y2=-2ap/b/(-2pa)=1/b
(2)OM垂直于ON
等价于y1/x1*(y2/x2)=-1
即y1y2/(x1x2)=-1
-2pa/(a^2)=-1
于是a=2p