双曲线的数学问题

已知定点A(4,0)到等轴双曲线X^2-Y^2=a^2(a>0)上的点的最近距离为根号5，求此双曲线的方程，并求此双曲线上的点A的距离为根号5的点的坐标。

设P（x,y)为双曲线一点
则A到P的距离平方d为：d=(x-4)^2+y^2
把y^2=x^2-a^2代入则
d=2x^2-8x+16-a^2=2(x-2)^2+8-a^2
若a>2时，则x的取值范围为（a，无限）,（无限，-a）不能取2;
此时x=a可使d的值最小且d=5代入得
a=4+5^2(a>2去掉其中一解）最小d的P点（4+5^2,0)
若a<2时,此时x=2，d最小且d=5代入得
a=3^2 最小d的P点为(2,±1）

这解法是否正确,还有为什么要讨论a>2 a<2
为什么?
当a>2时，A点在双曲线右支顶点的左侧，
当a<2时，A点在双曲线右支顶点的右侧.
就算a=3.9,A是(4,0),那么A还是在双曲线的顶点的右边.
所以应该是讨论4呀,为什么讨论2.

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