已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且两曲线交于P,PF1垂直PF2,问两离心率关系式（分别用e1和e2表示）

用焦半径做

设椭圆焦半径为a1，双曲线焦半径为a2，F1F2=2c
PF1+PF2=2a1
|PF1-PF2|=2a2
F1F2=2c
因为PF1⊥PF2，由勾股定理
PF1^2+PF2^2=F1F2^2
PF1^2+PF2^2=[(PF1+PF2)^2+(PF1-PF2)^2]/2=2a1^2+2a2^2
F1F2^2=4c^2
所以
2a1^2+2a2^2=4c^2
(a1/c)^2+(a2/c)^2=2
将e1=c/a1,e2=c/a2带入，得
(1/e1)^2+(1/e2)^2=2

先设出两曲线方程，因为焦点相同，所以它们方程中的参数有关系，并把参数中的b用a和c代替，再画图(假定焦点在X轴上)，并选定任意一个交点（因为对称）
联立二者方程，消去y和b（两者的b都用各自的a和c代替）
又因为焦点相同，所以焦点到交点的距离相同，转化成焦半径，此时等式中只剩下x,a,c,利用一开始的参数关系，消去x,整理等式，使它只出现离心率即可