函数F(x) (1.)除x=0,x=1外有意义 (2.)F(x)+F( (x-1)/x )=1+x 求F(x)解析式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 23:51:36
函数F(x) (1.)除x=0,x=1外有意义 (2.)F(x)+F( (x-1)/x )=1+x 求F(x)解析式

过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!过程过程!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!为什么!!!!!!!

令x=(y-1)/y
f((y-1)/y)+f(1/(1-y))=1+(y-1)/y
令y=(z-1)/z
f(1/(1-z))+f(z)=1+1/(1-z)
将字母换掉,可得
f(x)+f((x-1)/x)=1+x
f((x-1)/x)+f(1/(1-x))=1+(x-1)/x
f(1/(1-x))+f(x)=1+1/(1-x)
方便起见,设f(x)=a,f((x-1)/x)=b,f(1/(1-x))=c.
a+b=1+x ①
b+c=1+(x-1)/x ②
c+a=1+1/(1-x) ③
③-②得a-b=1/(1-x)-(x-1)/x
再加上①得
2a=1+x+1/(1-x)-(x-1)/x
a=[1+x+1/(1-x)-(x-1)/x]/2
即f(x)=[1+x+1/(1-x)-(x-1)/x]/2

对方程求导得F'(X)+F'(X)[ (x-1)/x ]'=1
F'(X)[ 1/x^2+1 ]=1
F'(X)=X^2/(x^2+1)
F(X)=X-ARCTANX+任意常数