数学解析几何问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/17 06:47:03
已知椭圆中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点。向量OA+向量OB与向量a(3,-1)共线。求椭圆的离心率。
要解题过程，谢谢。

解：设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1 依题意斜率为1且过右焦点的直线为y=x-c。
将y=x-c代入椭圆方程并整理得（a2+b2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0。根据题意该方程一定有两个不同实根，且两根就是A,B两点的横坐标。不妨设向量OA(x1,y1),OB(x2,y2)。所以OA+OB=(x1+x2,y1+y2)。
由韦达定理，x1+x2=2a2*c/(a2+b2),依次y1+y2=x1+x2-2c=-2b2*c/(a2+b2)。
又因为OA＋OB与向量a(3,-1)共线。所以OA+OB的斜率为-1/3，也就是
(y1+y2)/(x1+x2)=-1/3。代入可得b2/a2=1/3。即(a2-c2)/a2=1/3所以可推出e=c/a=根号(6)/3。
注：“根号(6)”表示6开平方。