几何不等式

我这里提供一种解法，仅供参考
h=1/2bcsink/a k为a边所对的角
a^2=b^2+c^2-2bccosk
所以 b+c>=sqr(a^2+4h^2)
等价于 (b+c)^2>a^2+4h^2
b^2+c^2+2bc>a^2+b^2c^2sin^2k/a^2
b^2+c^2+2bc>b^2+c^2-2bccosk+b^2c^2sin^2k/a^2
2bc(1+cosk)>b^2c^2sin^2k/a^2
2(1+cosk)>bcsin^2k/a^2
整理成关于cosk的方程为
bccos^2k+2a^2cosk+2a^2-bc>0 cosk(-1,1)
利用求根公式求得
x1=-1，x2=(-2a^2+bc)/bc=1-2a^2/bc<1
要使在(-1,1)， bccos^2k+2a^2cosk+2a^2-bc>0恒成立
应使 1-2a^2/bc <=-1
即有2a^2-bc>=1
所以当bc，满足2a^2-bc>=1 b+c>=sqr(a^2+4h^2)
此题由于采用代数解法，而不是几何解法，故较繁琐。