题:已知△ABC内有一点P,∠PAB=10° ∠PBA=20° ∠PCA=30° ∠PAC=40°,求证△ABC

一、辅助线：
1、过A点做射线AX使∠PAX = 10°,∠CAX = 30°；
2、过B点做射线BY使∠PBY= 20°,交PX于点M,交AC于点N.
二、证明：
1、由原题得知：∠APB = 150°,∠APC = 110°,∠BPC = 100°；
2、∠BAP = ∠MAP =10°,∠ABP = ∠MBP =20°,得出P点是△ABM内心,
所以∠AMP = ∠BMP =60°,推出∠BPM =100°=∠BPC,所以点M在PC上.
3、由以上推出∠BMP = ∠PMA =∠AMN = ∠NMC=60°,∠CAM = ∠ACM =30°
可以推出AN=CN且BN⊥AC；
4、所以AB=AC,△ABC是等腰三角形.

sorry