设N为正整数,证明lgN不是整数就是无理数.

假设lgn=x/y（x，y为正整数）
n=10^(x/y)
n^y=10^x
显然n只可以含有2和5两个质因数。
设n=2^p*5^q(p,q为自然数)
每一对2和5的乘积为10，无论2和5取多少次方都不能独立形成10的整数次方.
因此对于形如2^p*5^q的正整数n,n是10的整数次幂的充要条件是p=q.
因为n不是10的整数次幂,所以p≠q.
又n^y=2^yp*5^yq是10的整数次幂,所以yp=yq即p=q.矛盾.