在三角形ABC中，sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC,求证这个是直角三角形

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 04:54:27

cosB+cosC=2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
sinB+sinC=2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]

原式等价sinA(2cos[(B+C)/2]cos[(B-C)/2])=2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2] 等价sinAcos[(B+C)/2]=sin[(B+C)/2]
因为0<A<180 cos[(B+C)/2]=cos[90-A/2]=sin(A/2)
sin[(B+C)/2]=sin[90-A/2]=cos(A/2)
原式等价sinAsin(A/2)=cos(A/2)
因为sinA=sin(2*A/2)=2sin(A/2)cos(a/2)
原式等价2sin(A/2)cos(a/2)sin(A/2)=cos(A/2)
等价sin2(A/2)=1/2
所以sin(A/2)=2^(1/2)/2
所以A/2=45
A=90

所以三角形ABC是直角三角形