特征根方程求通项公式

（一）、拆分变换

形如an+1=can +d （其中c,d为常数，且c 0, c 1）的递推式，可将其拆分后转化成 =c的等比数列{bn}来解。

例1． 已知数列{an}满足a1=2, an+1=3an+2求an

分析：由于an+1与an是线性关系，由式子an+1=can +d可联想到直线方程的斜截式y=cx+d ,它应当可以化为点斜式，而c 1,则直线y=cx+d与直线y=x必有一交点，设为（t, t）

解：an+1=3an+2可设为an+1－t=3(an－t)

可得an+1=3an－2t, t=－1

得到 =3即{an+1}是以a1+1=3为首项，q=3为公比的等比数列

an+1=3·3n-1=3n 故an=3n－1

（二）、运用待定系数法或换元法进行变换

形如an+1=can +d(n) （其中c,d为常数，且c 0, c 1,d(n)为n的函数）的递推式，可用待定系数法或换元法转化成等比数列。

1）若d(n)为n的一次函数，可采用待定系数法

例2．已知a1=2, an+1=4an+3n+1求an

分析：与上述情形作比较，发现常数d变成了一次函数d(n)，可考虑用一个辅助数列{bn}，使{bn}成为等比数列。

解：（用待定系数法）设bn=an－(Bn+C)，则

an=bn+(Bn+C) (其中B，C为待定常数)

由an+1=4an+3n+1可得

bn+1+B(n+1)+C=4(bn+Bn+C)+3n+1

即bn+1= 4bn+（3B+C）n+(3C－B+1)

令3B+C=0 ，3C－B+1=0可得

B=－1， C=－

这样，bn+1= 4bn 即数列{bn}是公比为4，首项为b1=a1－(B+C)= 的等比数列， ∴bn= ·4n-1

故an= ·4n-1＋[（