高一数学题，关于数列

设数列{bn}前n项为Sn，且bn=2-Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20.
1）求数列bn的通项公式（已经求出来了，是2*3^-n.)
2)若Cn=an*bn,Tn为数列{Cn}的前n项和.求证:Tn<3.5

解：

1) Bn=2-Sn
B0 = 2 – S0 = 2 – B0, B0 = 1

B(n+1) – Bn = 2-S(n+1) – 2 + Sn = Sn – S(n+1) = - B(n+1)
Bn = 2B(n+1)
B(n+1) / Bn = 1/2

所以 {Bn} 是 首项 为 1 的 公比为 1/2的 等比数列
Bn = 1 * (1/2)^n = 1/2^n

2)

假设 An = A0 + dn
14 = A0 + 5d
20 = A0 + 7d
d = 3, A0 = -1
所以 An = -1 + 3n

所以
Cn = (-1 + 3n) * 1/2^n = ( 3n - 1) /2^n = 3 * n/2^n – Bn
Sn = 2 - Bn = 2 - 1/2^n

假设 {n/2^n} 的 前n项和 为 Mn
Mn = 0 + 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + …… + n/2^n
= (1/2 + 1/4+1/8+…+1/2^n ) + (1/4+1/8+1/16+…+1/2^n) + (1/8+1/16+1/32+…+1/2^n) + …….. +(1/2^(n-1)+1/2^n) + 1/2^n
= Sn -1 + 1/2*(S(n-1) – 1) + 1/4 * (S(n-2) – 1) + …. + 1/2^(n-2) * (S2 - 1) + 1/2^n
= 1- 1/2^n + 1/2 - 1/2^n + 1/4 - 1/2^n + ….. + 1/2^(n-2) - 1/2^n +1/