△ABC中a,b,c分别为角A,B,C所对的边,h为BC边上的高,a=3h,求b/c+c/b的取值范围

我声明，我的做法我自己都不满意，仅供参考。

1.首先有，b/c+c/b≥2√（b/c*c/b）=2.此时有b=c,
△ABC为等腰三角形。
2.因△ABC的面积为定值=1/2*3h^2=3/2*h^2.
又△ABC的面积=1/2bcsinA,
所以有：3/2*h^2.= 1/2bcsinA，
所以，bc=3h^2*sinA≤3h^2,即△ABC为直角三角形
时，bc有最大值3h^2,此时，A为直角。此时有b^2+c^2=9h^2,2bc=6h^2
可以得到（b+c）^2=15h^2,(b-c)^2=3h^2.于是有：
b+c=√15h,b-c=√3h.
所以2b=(√15+√3)h,2c=(√15-√3)h,
b/c=(3+5)/2,c/b=2(3-√5).
b/c+c/b=(3+√5)/2+2(3-√5)=(15-3√5)/2.
3.当AB⊥BC时，c=h,a=3h,
b=√(a^2+c^2)=√10*h.
b/c+c/b=√10+1/√10＜(15-3√5)/2.
综上所述，在D点向左移动的过程中，△ABC为直角三角形时，b/c+c/b有最大值(15-3√5)/2，所以，2≤b/c+c/b≤(15-3√5)/2.

另;我考虑了一个一般性的解法，当D点向左移动时的情况，向右移与此相同。
设BD=x,则CD=a-x=3h-x,其中0≤x≤a/2=3h/2.
于是，c^2=h^2+x^2,c=√（h^2+x^2）;
b^2=h^2+(3h-x)^2=x^2-6hx+10h^2
令y= b/c+c/b,则y^2= (b/c+c/b)^2=b^2/c^2+c^2/b^2+2=......太复杂了，只得放弃。

2到正无穷