高一数学 数列2

设 b<n> = a<n+1> - a<n>
b<1> = a2 - a1 = 2 - 4 = -2
b<2> = a3 - a2 = 1 - 2 = -1

b<2> - b<1> = -1 - (-2) = 1
因此 b<n> 是 首项为 -2, 公差为1 的等差数列
b<n> = b1 + (n-1)*d = -2 + (n-1)*1 = n -3

因此 a<n+1> - a<n> = n-3
以 n 替换 n+1
a<n> - a<n-1) = (n-1) - 3
a<n> - a<n-1) = n - 4

a2 - a1 = 2 -4
a3 - a2 = 3 -4
a4 - a3 = 4 -4
a5 - a4 = 5 -4
……
a<n> - a<n-1> = n -4

以上各等式相加， 消去 a2、a3 …… a<n-1>。得到
a<n> - a1
= (2+3+4+5+……+n) - 4(n-1)
= (2+n)*(n-1)/2 - 4(n-1)
=n^2/2 + n/2 - 1 - 4n + 4
= n^2/2 - 7n/2 + 3

a<n> = n^2/2 - 7n/2 + 3 +a1
= n^2/2 - 7n/2 + 3 + 4
= n^2/2 - 7n/2 + 7

a2-a1=-2
a3-a2=-1
又数列{a(n+1)-an}为等差数列
a4-a3=0
......
an-a（n-1）=n-4
全部相加
an-a1=(-2+n-4)(n-1)/2
将a1移过去就得拉