一道二重积分的题目

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/17 01:23:38

设函数f(x,y)在D={(x,y)|x^2+y^2<=r^2}上连续，试求：
lim 1/(pi*r^2) ∫∫f(x,y)dxdy （其中r趋于0）
二重积分区域为D，极限过程是r趋于0.
这样写清楚点：lim ∫∫f(x,y)dxdy /(pi*r^2)

根据积分中值定理，在D上存在一点(x0,y0)
∫∫f(x,y)dxdy =f(x0,y0)*πr^2
当r->0时(x0,y0)->(0,0),f(x0,y0)->f(0,0)
lim ∫∫f(x,y)dxdy /(pi*r^2)
=limf(x0,y0)=f(0,0) (r->0)

令x=t*sina；y=t*cosa，则f(x,y)=t^2其中（0<=t<=r）。
lim(1/(pi*r^2)∫∫f(x,y)dxdy)
= lim(1/(pi*r^2)∫-t^4dt*2)
=0

结果可能不对，思路差不多