1*22+2*32+3*42+……+n(n+1)2=

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 05:37:17
22是2的平方 32是3的平方……

证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，
在等式1•22+2•32++n（n+1）2
= n(n+1)12 （an2+bn+c）中，
令n=1，得4= 16 （a+b+c）①
令n=2，得22= 12 （4a+2b+c）②
令n=3，得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3，b=11，c=10，
于是，对于n=1，2，3都有
1•22+2•32++n（n+1）2= n(n+1)12 （3n2+11n+10）（*）成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．
（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．
（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，
即1•22+2•32++k（k+1）2
= k(k+1)12 （3k2+11k+10），
那么当n=k+1时，
1•22+2•32++k（k+1）2+（k+1）（k+2）2
= k(k+1)12 （3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2
= (k+1)(k+2)12 （3k2+5k+12k+24）
= (k+1)(k+2)12 [3（k+1）2+11（k+1）+10]，
由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．
综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．

什么意思？