由平行四边形ABCD的各定点向直线L做垂线,垂足为E,F,G,H,求证AE+CG=BF+DH

这个题目应该有图 别人才能答。
经过研究，直线L应在平行四边形之外。

为了与你的图形统一，我先描述下我的图形。

ABCD四个字母按照逆时针分布在四边形上。
AB在下，CD在上

不妨设定直线在AB下方。（但不要求与 AB平行）

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从A点向DH做垂线，垂足为M
从B点向CG做出现，垂足为N

AEHM 以及 BFGN都是矩形。
AE = MH
BF = NG

如果能证明 DH - AE = CG - BF，则
AE + CG = DH + BF

而
DH - AE = DM
CG - BF = CN

因此想办法证明 DM = CN。
可以通过三角形 AMD 与 BNC 全等来证明

两个三角形都为直角三角形，且 AD = BC 是已知 条件。
还需证明 一对 对应角相等就可以证明全等了。

延长 AB 任意长度 到 X
则 ∠CBX = ∠DAB

因为 DH‖CG，AM⊥DH，BN⊥CG，所以 AM‖BN
因此 ∠NBX = ∠MAB

这样
∠DAM = ∠ DAB - ∠ MAB = ∠CBX - ∠NBX = ∠CBN

因此 直角三角形 DAM 与 CBN 中

∠DAM = ∠CBN
AD = BC

所以二者全等。
DM = CN
DH - AE = CG - BF
AE+CG=BF+DH

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以上只是给出了思路。
在格式书写上，请楼主自己来解决就可以了。