已知Mshi 正三角形ABCD 外接圆上的任意一点，求证：[ MA的平方+MB的平方+MC的平方] 为定值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 21:51:51

设正三角形abc外接圆半径为常数R.
据正弦定理：
MA=2R*sin∠MBA（设∠MBA为α）
MB=2R*sin∠MCB
MC=2R*sin∠MBC
据圆内同段弧所对的圆周角相等，又因为ABC是正三角形，所以，
MB=2R*sin（60+α）=2R(sin60cosα+cos60*sinα)=2R（二分之根号三*cosα+二分之一*sinα)
MC=2R*sin（60-α）=2R(sin60cosα-cos60*sinα)=2R（二分之根号三*cosα-二分之一*sinα)
MA②=4R②*sin②α[打不出平方，用②代替]
MB②=4R②（0.75cos②α+0.25sin②α+二分之根号三*sinαcosα)
MC②=4R②（0.75cos②α+0.25sin②α-二分之根号三*sinαcosα)
MA②+MB②+MC②=4R②（sin②α+1.5cos②α+0.5sin②α）=4R②*1.5（sin②α+cos②α）=6R②
证明完毕。