一直,矩形ABCD和其外部一点P,试说明PA的平方加PC的平方等于PB的平方加PD的平方

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/14 08:22:40

证明：过点P作MN‖AD交BA，CD延长线于点M，N
则四边形ADNM，四边形ABCD，四边形MBCN是矩形
∴△MAP △MBP △PND △PCN是直角三角形
∴MA=ND BM=NC
∴PA的平方=MA的平方+MP的平方⑴
PC的平方=PN的平方+NC的平方⑵
PB的平方=PM的平方+BM的平方⑶
PD的平方=PN的平方+ND的平方⑷
⑴+⑵
PA的平方+PC的平方=MA的平方+MP的平方+PN的平方+NC的平方
⑴ + ⑵
PB的平方+PD的平方==PM的平方+BM的平方+PN的平方+ND的平方
∴PA的平方加PC的平方等于PB的平方加PD的平方

作AB,CD的垂线，垂足是E,F，
在直角三角形PAE,和直角三角形PCF中，
PA＾2=PE＾2+AE＾2，PC＾2=PF＾2+FC＾2,
PA＾2+PC＾2=PE＾2+AE＾2+PF＾2+FC＾2
=PE＾2+DF＾2+PF＾2+EB＾2 (DF=AE,EB=FC)
=(PE＾2+EB＾2)+(DF＾2+PF＾2)
=PB＾2+PD＾2 (在直角三角形PFD,在直角三角形PEB)