已知在△ABC中,AB≤1/2AC,求证∠ACB<1/2∠ABC

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 21:45:37

AB≤1/2AC
根据余弦定理
AB/sin∠ABC=AC/sin∠ABC
带入得sin∠ACB<sin1/2∠ABC
然后因为sin2α=2sinαcosα<2sinα
所以2sin1/2∠ABC>sin∠ABC
所以∠ACB<1/2∠ABC

三角形对应角，边为αβγ，abc；
c≤1/2b,由正弦定理得sinγ≤1/2sinβ
要证γ≤1/2β,只须sinγ≤sin(1/2β);
要证sinγ≤sin(1/2β),只须1/2sinβ≤sin(1/2β);
而1/2sinβ≤sin(1/2β)等价于1/2cos(1/2β)≤1
即cos(1/2β)≤2,显然此式成立,故原命题得证