等边三角形ABC中,BD平分角ABC,CE平分角ACB,BD、CE交于点Q,BQ的垂直平分线交BC于P,求BP:BC的值,说明理由

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 01:36:28
等边三角形ABC中,BD平分角ABC,CE平分角ACB,BD、CE交于点Q,BQ的垂直平分线交BC于P,求BP:BC的值,说明理由

答对，再加30分
一楼的，为什么PQ=1/2PC

依题意知
<QBC=<QCB=30°
∴<BQC=180°-30°*2=120°
连PQ
∵P在BQ的垂直平分线上
∴PB=PQ
∴<PQB=<QBC=30°
∴<PQC=120°-30°=90°
在直角三角形CPQ中
∵<QCP=30°
∴PQ=1/2PC
∴BP=1/2PC
∴BP:BC=1:3

设三角形边长为3，因为Q为两条角平分线交点，所以Q为三角形内心，即中心。所以BQ=根号3（3/根号3）。设BQ中点为F，BF=0.5*根号3。因为角DBC=30度，所以BP=BF/cos30度=1，所以BP:BC=1：3

连接AQ并延长交BC于F,根据题意得Q是重心(等边三角形四心合一),所以QF/AF=1/3,连接PQ,BQ的垂直平分线交BC于P, 所以BP=PQ,所以∠BQP= ∠QBP=∠ABQ=30度,所以∠QPF=∠ABF=60度,所以PQ//AB,所以△ABF相似于△QPF,所以PQ/AB=1/3, 所以BP/BC=1/3