已知a，b，c为正整数，且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数。求证

(1).由a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
a为质数，故c-b=1,b与c两数必为一奇一偶。
（2）.由（1）c=b+1,a^2=b+c
2(a+b+1)=a+b+1+a+c=a^2+2a+1=(a+1)^2

a为质数

1.a=2,这时 4=a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
可得两个方程组c+b=4,c-b=1;
c+b=2,c-b=2;
简单验算可以看出b，c没有整数解

2.a不等于2，这时由于所有大于2的质数都是奇数，a是奇数
a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)
因为a是质数，又c，b是正整数
所以必有c+b=a^2,c-b=1
因为c-b=1，c，b的奇偶性必然不同，故b，c一奇一偶

第二问：

由上面所得：c+b=a^2,c-b=1可解得b=（a^2-1）/2

2(a+b+1)=2（a+(a^2-1)/2+1)
=a^2+2a+1
=(a+1)^2

得证

已知a，b，c为正整数，且满足a^2+b^2=c^2,又a为质数。求证：(1)b与c两数必为一奇一偶；（2）2(a+b+1)是完全平方式.

（1）这个不难，因为a^2+b^2=c^2，a^2=(b+c)(c-b)
因为b,c为正整数，所以c-b=1,c+b=a^2
c-b=1（奇数），b与c两数必为一奇一偶
（2）c-b=1,c+b=a^2，b=(a^2-1)/2
2（a+b+1）=2[a+(a^2-1)/2+1]=a^2+2a+1=(a+1)^2

可看作直角三角形利用直角三角形的特性来求解(直角三角形的三边长的最小形式为勾3股4弦5)

恩 上面都答了。。。