如图已知，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ‖AB，

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 17:52:21
如图已知，△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ‖AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上。（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。（3）试问：在AB上是否存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长。

△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4
所以△ABC为直角三角形，AB为斜边
△ABC的面积=3*4/2=6
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等
所以△PQC=3
PQ‖AB
CP：4=CQ:3
CQ=3CP/4
△PQC=1/2*CQ*CP=3/8*CP^2=3
CP=2*根号2

（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等
CP+CQ+PQ=PQ+BQ+AP+AB
CP+CQ=3+4+5-CP-CQ
CP+CQ=6
CP：4=CQ:3
CP=24/7

1）由S△ABC=1/2×3×4=6，
∴S△PQC=6÷2=3，
由PQ‖AB，AC=4，BC=3，
设PC=4x，QC=3x，
得：1/2×4x×3x=3，
x=±√2/2，（x=-√2/2舍去）
∴x=√2/2，即PC=2√2,QC=3√2/2.
(2)设PC=4t，QC=3t，PQ=5t，
PA=4-4t，BQ=3-3t，
∴3t+4t+5t=（3-3t）+（4-4t）+5t+5
t=6/7
∴PC=4t=24/7.
（3）符合条件的M点是存在的。
①设QM=PM=x,∠OMQ=90°,
BQ=3-x，PA=4-x，
由QM‖AC,
∴(3-x)/x=x/(4-x),
12-7x+x²=x²,
∴x=12/7.
∴PQ²=(12/7)²+(12/7)²
PQ²=288/49,
∴PQ=12√2/7.
②设PQ=QM=5x，∠MQP=90°，
QC=3x，PC=4x，
由△BMQ∽△QCP，
∴（3-3x）/5x=5x/4x，
x=12/37.
∴PQ=5x=60/37.
③设PQ=PM=5x，∠MPQ=90°，
QC=3x，PC=4x，PA=4-4x，
由