非常紧急！抽象函数!求高手速赐教

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 13:10:55
f(x)为R上偶函数,对任意x,满足f(x+2)=1/2+二次根号下 f(x)-f(x)的平方 ,则方程f(x)=f(1)在[0,8]上根的个数为( )
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f(1)=f(-1)
f(1)=1/2+sqrt(f(-1)-f(-1)^2)
f(-1)=1/2+sqrt(f(-3)-f(-3)^2)

设f(1)=x
x=1/2+sqrt(x-x^2)
x-x^2=x^2-x+1/4
x^2-x+1/8=0
x=(2+sqrt(2))/4

f(3)=1/2+sqrt(f(1)-f(1)^2)
f(3)=f(1)
同理f(7)=f(5)=f(3)=f(1)
选b

b
因为是偶函数，所以f(-1)=f(1)=f(-1+2).
后一个函数可看成另一个抽象函数f(x+2)=g[f(x)]
对照发现与-1相差2的整数倍的正数x,f(x)取值会循环，即f(1)、f(3)、f(5)、f(7)取值相等，都等于f(-1)。