求高手解答：数学上发明虚数的目的是什么？

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大多数人最为熟悉的数有两种，即正数（＋5，＋17．5）和负数（－5，－17．5）。负数是在中世纪出现的，它用来处理3－5这类问题。从古代人看来，要从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的。但是，中世纪的商人却已经清楚地认识到欠款的概念。“请你给我五个苹果，可是我只有三个苹果的钱，这样我还欠你两个苹果的钱。”这就等于说：（＋3）－（＋5）＝（－2）。
正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘。正数乘正数，其乘积为正。正数乘负数，其乘积为负。最重要的是，负数乘负数，其乘积为正。
因此，（＋1）×（＋1）＝（＋1）；
（＋1）×（－1）＝（－1）；
（－1）×（－1）＝（＋1）。
现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋1？或者用数学语言来说，＋1的平方根是多少？
这一问题有两个答案。一个答案是＋1，因为（＋1）×（＋1）＝（＋1）；另一个答案则是－1，因为（－1）
×（－1）＝（＋1）。数学家是用√￣（＋1）＝±1来表示这一答案的。（DeepKen注：（＋1）在根号下）
现在让我们进一步提出这样一个问题：－1的平方根是多少？
对于这个问题，我们感到有点为难。答案不是＋1，因为＋1的自乘是＋1；答案也不是－1，因为－1的自乘同
样是＋1。当然，（＋1）×（－1）＝（－1），但这是两个不同的数的相乘，而不是一个数的自乘。
这样，我们可以创造出一个数，并给它一个专门的符号，譬如说＃1，而且给它以如下的定义：＃1是自乘时会得出－1的数，即（＃1）×（＃1）＝（－1）。当这种想法刚提出来时，数学家都把这种数称为“虚数”，这只是因为
这种数在他们所习惯的数系中并不存在。实际上，这种数一点也不比普通的“实数”更为虚幻。这种所谓“虚数”具有一些严格限定的属性，而且和一般实数一样，也很容易处理。
但是，正因为数学家感到这种数多