已知球的半径为R,球内接圆柱的底面半径为r,高为h,则r和h为何值时,内接圆柱的体积最大?

显然满足条件的圆柱被经过圆心且平行于底面的平面平分为两部分
则圆柱底面积=πr²
h=2√(R²-r²)
V=πr²*2√(R²-r²)=4π√[(r²/2)²(R²-r²)]
根据均值不等式
(R²/3)³=[(r²/2+r²/2+R²-r²)/3]³≥(r²/2)²(R²-r²)
当r²/2=R²-r²时取等号
此时r=√6R/3，h=2√3R/3

圆锥和圆柱底面半径之比为1：2，高的比是2：3，体积之比是（）

解: 由题意
h^(2)+(2r)^(2)=(2R)^(2)
V=πr^(2)h
所以
V=π(R^(2)-h^(2)/4)h
所以 h=1.732R时最大