已知x,y,z∈R,且x+y+z=8,x^2+y^2+z^2=24,求证:4/3≤x≤3,4/3≤y≤3,4/3≤z≤3
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/20 06:03:47
你这个题错了,应该是求证:4/3≤x≤4,4/3≤y≤4,4/3≤z≤4,
否则有反例:x=4,y=2,z=2.
证明:4/3≤x≤4,4/3≤y≤4,4/3≤z≤4的过程如下:
y+z=8-x,
y^2+z^2=24-x^2;
由不等式:(y+z)^2≤2(y^2+z^2)
将以上两式待入得:
(8-x)^2≤2(24-x^2)
化为:3x^2-16x+16≤0,解得4/3≤x≤4。
同理可得,4/3≤y≤4,4/3≤z≤4
x+y+z=8 (1)
x^2+y^2+z^2=24 (2)
x=8-y-z代入(2):(8-y-z)^2+y^2+z^2=24 展开化简得
y^2+z^2-8y-8z+yz+20=0 (3)
将(3)看作关于y的一元二次方程,整理为:
y^2+(z-8)y+(z^2-8z+20)=0
y,z∈R,则Δ=b^-4ac>=0
即(z-8)^2-4*(z^2-8z+20)>=0
化简得:-3z^2+16z-16>=0
即 (z-4)(-3z+4)>=0
则有 4/3≤z≤4
同理可证 4/3≤x≤4,4/3≤y≤4
很显然,题目错误,X可以大于3,当X=4,Y=2,Z=2,符合已知条件
应该求的是
正确答案:
(x+y+z)^2=64=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)
xy+yz+xz=20
即
因为y+z=8-x,yz<=(Y+Z)^2/4
20=X(Y+Z)+YZ=X(8-X)+YZ<=8X-X^2+(Y+Z)^2/4
化简得到
3X^2-16X+16<=0
即(3X-4)(X-4)<=0
所以4/3<=x<=4
同理证明其余2个
请教:已知x、y、z∈R+,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是多少
已知x,y,z∈R+,且x+y+z=8,xyz=5,求证:x,y,z中至少有一个小于1
已知R,x,y,z是整数,且R>x>y>z,若R,x,y,z满足方程
已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1/2,求证:x,y,z∈〔0,2/3〕
已知x,y∈R+,且x≠y,求证x^5y^-5+x^-5y^5>x^4y^-4+x^-4y^4
已知x、y∈R+, ,且X+4Y=1 ,则XY 的最大值为
已知X,Y∈正R,且2X+ 8Y-XY=0,求X+Y的最小值.
已知x,y∈R,且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值
已知x,y∈ R,且(x-2)^2+Y^2=1, 求y/x的最大值
已知X,Y属于R+,且 XY=1+X+Y,求X+Y的最小值