【立体几何证明】

空间向量法：
以D为原点，AD为x轴，CD为y轴，DD'为z轴建立空间直角坐标系。
令正方体的边长为1
则A(1,0,0) D(0,0,0) B(1,1,0) D'(0,0,1)
设向量n为平面ABD'的法向量，则可令n=(1,0,1)
设P(x,1,0) R(0,1,z)
则向量PR=(-x,0,z)
当PR‖平面ABD'时，向量PR乘以向量n=零向量
得x=z（x，z不等于1或0）
则P,R到C的距离相等且P,R不与B,C,C'重合

几何法：
平面ABD'即平面ABC'D'
若PR‖平面ABD' ，因为平面ABC'D'交平面BCC'B'于BC'，PR在平面BCC'B'上
则必有PR‖BC'
即P,R到C的距离相等且P,R不与B,C,C'重合

连接BC'
画出图:因为ABCD-A'B'C'D'为长方体,所以BC'AD'共面,
即证PR平行面ABc'D'即可
所以当R在cc'中点,P在BC中点时,平行