f(x+y)=f(x)+f(y) f(1)=1/2.....

1.
令y=1
所以 f(x+1)=f(x)*f(1)=f(x)/2
所以{f(n)}是首项为1/2,公比为1/2的等比数列f(n)=1/2^n

2.
an=n/2^n
设Sn=a1+a2+..+an=1/2+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n

则1/2*Sn=1/2^2+2/2^3+3/2^4+...+n/2^(n+1)
上面两式相减
所以1/2*Sn=Sn-1/2*Sn=1/2+1/2^2+...+1/2^n-n/2^(n+1)=1-1/2^n-n/2^(n+1)
所以Sn=2-2*[1/2^n+n/2^(n+1)]<2

1)f(n)=n/2,这个显然...可用数学归纳法证:f(n+1)=f(n)+f(1)

2)第二问有问题吧...光a4=2就是反例了
你可能指
设an=n*f(n),n属于正整数，求证：a1+a2+a3+...an<2^n
则左=1/2*1/6n(n+1)(2n+1)---平方和公式
然后可以求导数，如果你不想这样解，那我再想想。

1.令y=0，则f(x)=f(x)+f(0),所以f(0)=0
令y=-x，则f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)=-f(-x)
令y=1-x，则f(x+1-x)=f(x)+f(1-x),即f(x)+f(1-x)=1/2
所以f(x)-f(x-1)=1/2,可得当n为正整数时，为等差数列
f(n)=1/2+(n-1)*1/2=1/2*n
2.第二题是不是错了啊 a1+a2+a3=1*1/2+2*1+3*3/2就大于2了啊