求证一高难度几何题！！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 21:48:34
一非钝角三角形ABC，内接于圆O，过O点分别作AB BC CA 的垂线并交AB BC AC于D E F,交圆O于G H I 作DG EH FI 的中点X Y Z,连接X Y Z，求证三角形X Y Z是正三角形！ 谢谢！

设R=1
OF＝RcosB＝cosB
OD＝RcosC＝cosC
OI=OG=R＝1
2OZ＝OF＋OI＝1＋cosB
2OX＝OD+OG＝1＋cosC
角ZOX＝180－角A
余弦定理
XY^2＝[(1＋cosB)/2]^2+[(1＋cosC)/2]^2-2*[(1＋cosB)/2][(1＋cosC)/2]cos(180－角A)
XY^2＝[(1＋cosB)/2]^2+[(1＋cosC)/2]^2+2*[(1＋cosB)/2][(1＋cosC)/2]cosA
利用三角恒等式
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
自己化简
XY^2＝f（A，B，C）,是一个对称式
同理
YZ^2＝f（A，B，C）
ZX^2=f（A，B，C）
得证