3sin2A+2sin2B=2sinA，试求的sin2A+sin2B取值范围？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/06 05:28:34
sin与A，B之间的2为平方。
要详细过程！谢谢！

3sin²A+2sin²B=2sinA
sin²B=(2sinA-3sin²A)/3
因为0=<sin²B<=1
所以0=<(2sinA-3sin²A)/3<=1
0=<2sinA-3sin²A<=3
3sin²A-2sinA<=0，解得0=<sinA<=2/3
3sin²A-2sinA+3>=0，恒成立
所以0=<sinA<=2/3

sin²A+sin²B
=sin²A+(2sinA-3sin²A)/2
=(-1/2)sin²A+sinA
=(-1/2)(sinA-1)²+(1/2)
当sinA=0时，式子取最小值，最小值是0
当sinA=2/3时，式子取最大值，最大值是4/9

2sinA在【-2，2】，这是三角函数的值域问题，因为sin2A+sin2B是平方+平方，所以sin2A+sin2B取值范围在【0，2】。等号也可以取得，在A=B=90度时等于2，在A=B=0时取0。
这是普通的三角函数题，定义域是R。并不是在三角形中，不要有所局限。

设sinA=x,则-1≤x≤1,而0≤(sinB)^2≤1,
所以0≤2x-3x^2≤2,即0≤x≤2/3
所求=1/2*(2sinA-(sinA)^2)=1/2*(2x-x^2)
由二次函数相关知识可得,0≤sin2A+sin2B≤11/24

解：
设t=(sinA)²+(sinB)²,则
(sinA)²+2t=2sinA
∴2t
=-[(sinA)²-2sinA+1]+1
=-(sinA-1)²+1
∈[-3,1]
∴t∈[-3/2,1/2]
谢谢！