已知二次函数f(x)=x.x+bx+c,无论A,B为何实数,恒有f(sinA)≥0和f(2+cosB)≤0求证:b+c=-1,c≥3

-1≤sinA≤1
1≤2+cosB≤3
所以二次函数在[-1,1]非负[1,3]非正
所以f(1)=0
即0=1+b+c
所以b+c=-1

函数对称轴为x=-b/2=(c+1)/2
根据函数对称性
f(c+1-1)＝0 即f(c)=0
函数在[(c+1)/2,+∞)为增
又f(3)≤0
所以c≥3

(1)已知f(sinA)≥0恒成立
则令sinA=1，得f(1)≥0
由f(2+cosB)≤0恒成立
令cosB=-1，得f(1)≤0
所以f(1)=0
得1+b+c=0
(2)
令cosB=1，得9+3b+c≤0(将b=-1-c代入）
9-3(1+c)+c≤0
=> 3≤c