已知函数f(x)=lgx,求证:对任意两个不相等的正数x1,x2不等式f(x1)+f(x2)<2f((x1+x2)/2)成立

f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1x2)
2f((x1+x2)/2)=2lg((x1+x2)/2)=lg((x1+x2)^2/4)
因为(x1+x2)^2/4-x1x2=(x1-x2)^2/4>0
而且f(x)=lgx在R+是增函数
所以f(x1)+f(x2)<2f((x1+x2)/2)

证明：因为x1,x2不等,所以(x1-x2)^2>0
即x1^2+x2^2>2x1x2
在上式两边同时加上x1x2得x1^2+2x1x2+x2^2>4x1x2
即(x1+x2)^2>4x1x2
即[(x1+x2)/2]^2>x1x2
因为lgx是增函数，所以lg[(x1+x2)/2]^2>lgx1x2
即2lg(x1+x2)/2>lgx1+lgx2
所以2f((x1+x2)/2)>f(x1)+f(x2)
f(x1)+f(x2)<2f((x1+x2)/2)

f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1*x2)

2f((x1+x2)/2)=2lg[(x1+x2)/2]=lg{[(x1+x2)/2]^}

因为x1，x2都正数，且不等，基本不等式：√(x1x2)<(x1+x2)/2

所以两边平方，(x1x2)<[(x1+x2)/2]^

因为lg是单调递增函数

所以lg(x1*x2)<lg{[(x1+x2)/2]^}

即f(x1)+f(x2)<2f((x1+x2)/2)

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常用基本不等式:
√(ab)≤（a+b）/2 a、b 正数
a^+b^≥2ab

f(x1)+f(x2)=lg(x1)+lg(x2)=lg(x1x2)
2f[(x1+x2)/2]=2lg[(x1+x2)/2]=lg{[(x1+x2)/2]^2}
因此只需