设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/06/10 06:39:02

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2
(1)求证:f(x)是周期函数
(2)当x属于[2,4]时,求f(x)的解析式
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+...+f(2008).

要有详细过程的~~!

(1)因为对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)
所以 f(x+4)=-f(x+2)
所以 f(x+4)=-(-f(x))=f(x)
所以 f(x)是周期函数

(2)因为当x属于[0,2]时,f(x)=2x-x^2
所以当x属于[2,4]时 f(x)=-f(x-2)=-( 2(x-2)-(x-2)^2 ) = x^2-6x+8

(3)由函数解析式得 f(0)=0 , f(1)=1 , f(2)=0 , f(3)=-1 , f(x+4)=f(x)
所以 f(0)+f(1)+f(2)+...+f(2008)
= 503*f(0) + 502*f(1) + 502*f(2) + 502*f(3)
= 0