证明任意一个完全平方数必能表示为4n或4n+1的形式，并也能表示成9n或3n+1的形式

设完全平方数m=k²
若k是偶数，则可令k=2a，那么m=k²=4a². 令n=a²，则m=4n；
若k是奇数，则可令k=2a+1，那么m=k²=4a²+4a+1. 令n=a²+a，则m=4n+1.
另一方面，若k是3的倍数，则可令k=3a，那么m=k²=9a². 令n=a²，则m=9n.
若k=3a+1，那么m=9a²+6a+1. 令n=3a²+2a，则m=3n+1.
若k=3a+2，那么m=9a²+12a+4. 令n=3a²+4a+1，则m=3n+1.

呵呵，果然是这样的。证明有点难，回去我再好好想想

若n=2k，则n^2=4k^2；若n=2k+1，则n^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1。所以n^2可表成4n或4n+1的形式。
n≡0,1,2(mod3)，则n^2≡0或1(mod9)，即n^2可表成9n或9n+1的形式。