高中数学排列（练习册上基础题）

组合符号Cn(m)，其中的n是下标，m是上标
1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)+ … +(n-1)/(n!)
=Cn(2)/n!+2Cn(3)/n!+3Cn(4)/n!+……+(n-3)Cn(n-2)/n!+(n-1)Cn(n)/n! （1）
Cn(m)=Cn(n-m)
所以上（1）式还能写成
Cn(n-2)/n!+2Cn(n-3)/n!+3Cn(n-4)/n!+……+(n-3)Cn(2)/n!+(n-1)Cn(1)/n! (2)
原式=((1)+(2))/2
=((n-2)*(Cn(2)+Cn(3)+……+Cn(n-2)+(n-1)(Cn(n)+Cn(1))/(2*n!)
=((n-2)*(Cn(1)+Cn(2)+……+Cn(n-1)+Cn(n))+Cn(n)+Cn(1))/(2*n!)
=((n-2)*(2^n-1)+1+n)/(2*n!)

n=2时 =1/2
n=3时 =5/6
n=4时 =23/24
n=5时 =119/120
:
由不完全归纳法，猜n=k时，=(k!-1)/k! (k>=2)
下面用数学归纳法证明
n=2时 =1/2 成立
设n=k时 =(k!-1)/k!
n=k+1时 =(k!-1)/k!+k/(k+1)!=((k!-1)(k+1)+k)/(k+1)!
=((k+1)!-1)/(k+1)!
得证

1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)+ … +(n-1)/(n!)
=1-1/(2!)+1/(2!)-1/(3!)+1/(3!)-1/(4!)+ 1/(5!)+ … +1/(n-1)!-1/(n!)
=1-1/(n!)

因为(n-1)/(n!)=n/(n!)-1/(n!)
=1/(n-1)!-1/(n!)