已知A/B=C/D,求证:A/B=(A^2+C^2)/(AB+CD)

设A/B=C/D=K
则A=KB C=KD

(A^2+C^2)/(AB+CD)
=(K^2*B^2+K^2*D^2)/(K*B^2+K*D^2)
=[K^2(B^2+D^2)]/[K(B^2+D^2)]
=K
=A/B

(A^2+C^2)/(AB+CD)
分子分母同除以B^2有
[(A/B)^2+(C/B)^2]/(A/B+CD/B^2)
将A/B替换为C/D
[(C/D)^2+(C/B)^2]/(C/D+CD/B^2)
化简有
[C^2*(1/D^2+1/B^2)]/[CD*(1/D^2+1/B^2)]=C/D
命题得证