limcotX(1/sinX-1/X)的极限

x → 0 ？？

cotx(1/sinx－1/x)＝1/tanx×(x－sinx)/(xsinx)
x→0时，tanx等价于x，sinx等价于x，所以

lin(x→0) cotx×(1/sinx－1/x)
＝lin(x→0) 1/tanx×(x－sinx)/(xsinx) 等价无穷小替换
＝lin(x→0) (x－sinx)/(x^3) 洛必达法则
＝lin(x→0) (1－cosx)/(3x^2) 1－cosx与1/2×x^2等价
＝1/6

你打少了一个x-->0 ....

limcotX(1/sinX-1/X)

=lim(x-sinx)/(xsinxtanx)

=lim(x-sinx)/x^3(等价无穷小)

而由麦克劳林公式 sinx=x-x^3/6+o(x^3) [这类题都这么做]

故上式=(1/6*x^3) /x^3 + o(x^3)/x^3

=1/6