f(x)=a1sinx+a2sin2x+...+ansinnx,且|f(x)|<=|sinx|,a1,a2,a3,...,an为实常数,

f(0)=0
f'(x)=a(1)cosx+2a(2)cos2x+...+na(n)cosnx

|f'(0)|=|lim [f(x)-f(0)]/x| (x->0)
=lim|[f(x)-f(0)]/x|(x->0)
=lim(|f(x)|/|x|) (x->0)
<=lim|sinx|/|x| (x->0)
<=|lim(sinx/x)| (x->0)
=1
又|f'(0)|=|a(1)+2a(2)+...+na(n)|
则|a(1)+2a(2)+...+na(n)|<=1

因为|f(x)|<=|sinx|
故|a(1)sin(x)+a(2)sin(2x)+...+a(n)sin(nx)
|〈=

我理解错了，“ 首席运营官 十二级 ”的答复是对的。

三楼误解了，原命题没有问题

|f(x)|<=2/3<|sinx|
这一步没有根据。
根据你的假设只能得出
f(x)≤2/3
f(x)≤|sinx|
并不能得出2/3<|sinx|

(导数定义)
由:条件:f(x)=a(1)sin(x)+a(2)sin(2x)+...+a(n)sin(nx)
和结论:a(1)+2a(2)+...+na(n)
可以得到应该用导数的内容>

f(0)=0,f'(0)=(a1cosx+2a2cos2x+...+nancosx)|x=0
=a1+2a2+...+nan
那么你只要证明:|f'(0)|<=1就可以了是不是??
f'(0)=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x->0)f(x)/x
|f(x)|<=|sinx|,所以
|f(x)/x|<=|sinx/x|
|f'(0)|
=|lim(x->0)f(x)/x|