求证：不论n为怎样的整数，n(n+1)(2n+1)/6结果都是整数

n(n+1)是两个连续的整数，必有一个偶数
所以n(n+1)(2n+1)必定能被2整除
现在证明他也能被3整除
考虑n
k表示整数
1.n=3k
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
2.n=3k+1
2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除
3.n=3k+2
n+1=3k+3能被3整除
显然n(n+1)(2n+1)能被3整除

综上
n(n+1)(2n+1)能被6整除

显然

(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)/6 - n(n+1)(2n+1)/6 =(n+1)^2

故 n(n+1)(2n+1)/6 =1+2^2+...+n^2

整数加起来还是整数

所以 n(n+1)(2n+1)/6是整数

n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n-1+n+2)=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)
三个连续的数相乘必可被6整除，故上式可被6整除