问一道正弦定理的问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 13:33:43
在三角形ABC中，A=60度，3c=4b，求sinC

此题若一开始用余弦定理可以简单解出，但在辅导资料里这道题是在正弦定理这一节，就是说理论上做这道题时我还没有学余弦定理，那么不用余弦定理的话应当如何解这道题？还是说这道题本身只是编者失误？

由正弦定理知b/sinB=c/sinC,而3c=4b于是有3sinC=4sinB,A=60度，于是得到B=120-C，代入得，3sinC=4sin(120-C)展开得到，2√3cosC+2sinC=3sinC,所以有tanC=2√3,进而可以得到sinC=2√39/13

这是一道余弦定理与正弦定理的综合题

a²=b²+c²-2bccosA
a²=(3c/4)²+c²-2(3c/4)ccos60°
a²=13c²/16
a=(根号13)c/4

a/sinA=c/sinC
sinC=(c/a)sinA
sinC=4sin60°/根号13
sinC=2根号39/13

采用正弦定理
3c=4b ==>3sinC=4sinB
A=60 ==>B+C=120 ==>3sinC=4sin(120-C)=2根号3cosC+2sinC
==>tanC=2根号3
C=arctan2根号3
sinC=2根号(3/13)

不是编者失误，
设b=3，c=4
sinB/b=sinC/c
sin（180-60-C）/3=sinC/4
4sin（120-C）=3sinC
4sin120cosC-4cos120sinC=3sinC
2（√3）cosC+2sinC=3sinC
2（√3）cosC=sinC
sinC的平方+cosC的平方=1
可解得sinC =2√3）/（√13）