设二次函数f(x)满足f(-1)=0，且对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2（x^2+1）成立

1,因为对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2（x^2+1）成立，那么对于x=1自然也成立了，所以有1<=f(1)<=1于是就有f(1)=1
2,因为f(x)是二次函数，所以不妨设f(x)=ax^2+bx+c因为f(1)=1,f(-1)=0所以有a+b+c=1,a-b+c=0于是可以得到a+c=1/2,b=1/2所以有f(x)=ax^2+1/2x+1/2-a.
因为对任意实数x都有x≤f(x)≤1/2（x^2+1）成立，所以有x=<ax^2+1/2x+1/2-a<=x^2/2+1/2对于任意的x恒成立。分为两个不等式，进行研究如下：
（1）ax^2-1/2x+1/2-a>=0恒成立，所以有判别式小于或等于0，即有1/4-4a(1/2-a)<=0解得a=1/4.
(2)(a-1/2)x^2+1/2x-a<=0恒成立，所以有a-1/2<0,1/4+4a(a-1/2)<=0,于是可以解得，a=1/4
所以有a=1/4,c=1/4于是有二次函数的方程为y=1/4x^2+1/2x+1/4.

1.令x＝1而得到1≤f(1)≤1/2（1+1）．故必有f（1）＝1

2．令f（x）－x＝g（x）。则g（x）仍是二次函数。且题目告诉我们g（x）＞＝0对任意实数x都成立。这说明g（x）这条抛物线开口向上，与x轴相切或者相离。但是g（1）＝f（1）－1＝0，说明只能是相切了。所以g（x）＝a（x－1）＾2，其中a是某个正数。于是f（x）＝a（x－1）＾2＋x．代入f（－1）＝0得a＝1／4。于是f（x）＝（x＋1）＾2／4．检验知道这确实是题目的解