高一数学题一道！！要有详解！！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/21 17:11:03
设a1,a2,a3,a4,a5为自然数，A={a1,a2,a3,a4,a5},B={a1^2,a2^2,a3^2,a4^2,a5^2} (a1^2就是a1的平方），且a1<a2<a3<a4<a5,并满足A交B={a1,a4},a1+a4=10,A并B中各元素之和为256，求集合A

因为A交B是{a1,a4},故A并B是{a2,a3,a5,a1^2,a2^2,a3^2,a4^2,a5^2},所以a1到a5，a1的平方到a5的平方全部加起来就是256+a1+a4=266。
以下列出了前几个自然数的值，平方的值以及他和他的平方之和，只需要关注最后那列和

a | a^2 | a+a^2
1 | 1 | 2
2 | 4 | 6
3 | 9 | 12
4 | 16 | 20
5 | 25 | 30
6 | 36 | 42
7 | 49 | 56
8 | 64 | 72
9 | 81 | 90
10 | 100 | 110
11 | 121 | 132
因为A交B是a1和a4，所以a1和a4一定是个平方数，而他们之和又是10，所以a1是1，a4是9

又因为a4肯定在A和B集合中都有，3^2=9，因此3是A中的元素。

现确定下来的是A中:a1:1 a2或a3:3, a4:9

他们的和为2+12+90=104
剩下266-104=162

若a5=10，则162-110=52 无解
若a5=11，则162-132=30 则a2=3，a3=5，a5=11
若a5=12，则162-156=6 则a2=2，a3=3，a5=12

故，A={1,3,5,9,11}或A={1,2,3,9,12}