反函数题目一道

y=f(x)=log3 (3^x+1)
所以有:
3^y=3^x+1
3^x=3^y-1
x=log3(3^y-1)
f-1(x)=log3(3^x-1)
所以
f-1(2x)=log3(3^(2x)-1)

(2)
f-1(2x)=log3(3^(2x)-1)
f(x)=log3(3^x+1)
所以
log3(3^(2x)-1)=log3(3^x+1)
函数y=log3(x)是单调函数,]
所以有:
3^(2x)-1=3^x+1
设3^x=a>0
a^2-a-2=0
(a+1)(a-2)=0
a=2,(a=-1舍去)
3^x=2
所以
x=log3(2)

到底是3^(x+1)还是1+3^x?我就按复杂一点的做（后一种）

(1)y=log₃(1+3^x)，所以3^y=1+3^x，3^x=3^y-1，x=log₃(-1+3^y)
交换x,y得f⁻1(x)=log₃(-1+3^x)，所以f⁻1(2x)=log₃(-1+9^x)

(2)f⁻1(2x)=f(x)即log₃(-1+9^x)=log₃(1+3^x)，所以-1+9^x=1+3^x
9^x-3^x-2=0
(3^x-2)(3^x+1)=0
因恒有(3^x+1)>1，所以必是3^x-2=0，解得 x=log₃2

解:(1)设y=f(x)=log3 (3^x+1)j,则3^y=3^x+1,3^x=3^y-1,所以,x=log3 (3^y-1)
即,f-1(x) =log3 (3^x-1),f-1(2x)=log3 (3^2x-1).
(2)f-1(2x)=f(x),即(3^2x-1)=log3 (3^x+1),即log3 [(3^2x-1)/(3^x+1)]=0,
log3[(3^x-1)(3^x+1)/(3^x+1)