求一道不难的函数题的答案

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/18 02:34:26
某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）X万件与年促销费用M万元满足X=3-（K/M+1）（K为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件需要再投入16万元，每件产品的销售价格为每件产品平均成本（成本包括固定投入和再投入）
1.将2004年该产品的利润Y万元表示为促销费用M的函数
2.促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？

我做了是M越大Y越大，M没有上限的。很困惑。麻烦高人给个详解。

解：（1）
总的产品成本=8+16x
平均每件产品成本=(8+16x)/x
产品利润=总销售价格-总开销=x*1.5(8+16x)/x-(8+16x+m)=8x-m-4=8[3－2/(m+1)]-m-4=20-16/(m+1)-m
即y=20-16/(m+1)-m
(2)求该产品利润的最大值，即求函数y=20-16/(m+1)-m的最大值
y=20-16/(m+1)-m=21-[16/(m+1)+m+1]
∵m≥0，∴m+1≥1＞0
由重要不等式（*），可得
y≤21-8=13，当且仅当m=3时，y=13
∴2004年该产品利润的最大值为13万，此时促销费为3万元

注：（*）重要不等式
设a,b为任意实数，则(a^2-b^2)^2≥0恒成立，即
a^2-2ab+b^2≥0，即
a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时a^2+b^2=2ab。
此不等式叫做均值不等式

若a,b≥0
设x=√a,y=√b
由均值不等式，得x^2+y^2≥2xy,即
a+b≥2√(ab),当且仅当a=b时a+b=2√(ab)
此不等式为重要不等式