己知x,y,z∈R+，求证:

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/14 17:09:46
己知x,y,z∈R+，求证:
4(x+y+z)^3≥27(xy^2+yz^2+zx^2+xyz).

解 2*(1)-27∑x^2(y+z）得：
8(x+y+z)^3-27∑x^2*(y+z)-54xyz≥54(xy^2+yz^2+zx^2)-27∑x^2(y+z）.
<==>8∑x^3-3∑x^2*(y+z)-6xyz≥27(xy^2+yz^2+zx^2-yx^2-zy^2-xz^2)
<==>(4y+4z+x)*(y-z)^2+(4z+4x+y)*(z-x)^2+(4x+4y+z)*(x-y)^2≥27(y-x)*(z-y)*(z-x)
如果(y-x)*(z-y)*(z-x)为负显然成立，设a,b为正数，令
y-x=a，z-y=b，则z-x=a+b，y>a，z>a+b，所以
(4y+4z+x)*(y-z)^2+(4z+4x+y)*(z-x)^2+(4x+4y+z)*(x-y)^2≥
(4a+4a+4b)*b^2+(4a+4b+a)*(a+b)^2+(4a+a+b)*a^2
=(8a+4b)*b^2+(5a+4b)*(a+b)^2+(5a+b)*a^2
=10a^3+15a^2*b+21ab^2+8b^3.
27(y-x)*(z-y)*(z-x)=27ab(a+b).
记P=10a^3+15a^2*b+21ab^2+8b^3-27ab(a+b)
P=10a^3-12a^2*b-6ab^2+8b^3
=2(5a+4b)*(a-b)^2≥0。
故(1)式成立。