急！急！急，一道难题

假设质数只有n个：p1,p2,p3,p4,…….,pn,构造一个质数N=p1p2p3…pn+1.

(1) 若N为质数，则N是与p1,p2,p3,p4,…….,pn不同的一个质数，与只有n个质数的假设相矛盾。

（2）若N为合数，则N必有一质约数q，那N=qt（q是质数），于是有qt= p1p2p3…pn+1.显然质数q不是p1,p2,p3,p4,…….,pn的约数，因而q与p1,p2,p3,p4,…….,pn均不相同，是p1,p2,p3,p4,…….,pn之外的一个新质数，与只有n个质数矛盾。

综上所述，假设只有n个质数不成立，即质数有无穷多个。

那你是在说废话吗？汗~~~~~~~~~~~

质数就是只有1和它本身2个约数的数.
只要是只有包含1和它本身的数.就是质数.

用反证法:
假设有最大的质数q
2*3*5*7*11*13*......*q=Q
(Q+1)一定与Q互质
所以Q不能被小于等于q的质数整除
因此Q为质数,且Q>q
q不是最大的质数,与假设矛盾
所以质数有无穷多个.

假设质数为有限多的n个，那么不妨设那些质数为a1,a2,a3,...,an.
令b=a1*a2*a3*...*an + 1
那么易知b不能表示为这n个质数中的某几个的乘积，即b无法分解质因数（因为质数为这有限的n个），即b为质数
而显然b≠a1,a2,a3,...,an
所以………… 2:
2*3*5*7*11*13*......*q=Q
...
Q不能被小于等于q的质数整除
?

3:
易知b不能表示为这n个质数中的某几个的乘积
? 这个证明是很简单的。因为若干连续质数P1、P2、……Pn的乘积，再加一，那么除以P1、P2、……、Pn都有余数1，即不能被P1、P2、……、Pn整除，所以若干连续质数加一不能用这些质数的相乘表达。其实就是两个相差1的自然数的最大公约数是1。