高二数学题在线等！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 04:23:48
已知抛物线 x^2=4p(y-p) (p>0) 直线x-y+n-1=0,求证:n依次取1,2,3...时，直线截抛物线所得弦长|AnBn|的平方组成的数列是一个等差数列（其中p为定值）。

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抛物线可化为；y=x^2/(4p)+p,经过原点，开口向上，对称轴为y轴的抛物线
直线化为；y=x+n-1,斜率为1，
设直线和抛物线左右交点A，B
过A，B作X轴垂线L，M，过A作X轴平行线交于直线M
显然组成一个等腰直角三角形，
斜边即为弦长，两直角边分别为│xA-xB│,│yA-yB│
故弦长│AnBn|=√2│xA-xB│，
│AnBn|^2=2*│xA-xB│^2=2[(xA+xB)^2-4xAxB]
把抛物线，直线组成一个方程组，得到
x^2-4px+4p^2-4p(n-1)=0
xA+xB=4p,xAxB=4p^2-4p(n-1)
带入上式
│AnBn|^2=32p(n-1)
由等差数列表达式很容易得知
│AnBn|^2是首项为0，公差为32p的等差数列

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